En analyse complexe, le lemme jordanien est un résultat fréquemment utilisé en conjonction avec le théorème des résidus pour évaluer les intégrales de contour et les intégrales incorrectes. Jusqu`à présent, j`ai mis $f (z) = frac{1}{z ^ 2 + 1} $, et le point de singularité sont $z = pm I $. Arfken, G. Mais j`utilise le demi-cercle supérieur, donc j`ai seulement besoin de considérer le pôle $z = I $. Considérez le contour fermé C, qui est la concaténation des chemins C1 et C2 indiqués dans l`image. Res (f, ZK) désigne le résidu de f à la singularité ZK. Ainsi, l`intégrale le long de l`axe réel est juste la somme des résidus complexes dans le contour. Then $ text{Res}_{z = i} f (z) = frac{1}{2i} $. Il est nommé d`après le mathématicien Français Camille Jordan. Cependant, un exemple similaire suggère que j`ai besoin de trouver $ text{Res}_{z = I} f (z) e ^ {IAZ} $ à la place. Puis $ $ left | int_{C_R ^ +} frac{e ^ {IAZ}} {z ^ 2 + 1} , DZ right | Le frac{1}{R ^ 2-1} cdot pi R. Paris: Gauthier-Villars, pp.

le lemme de Jordan donne un moyen simple de calculer l`intégrale le long de l`axe réel des fonctions f (z) = EI a z g (z) holomorphe sur le demi-plan supérieur et continue sur le demi-plan supérieur fermé , sauf peut-être à un nombre fini de points non réels Z1, Z2,…, Zn. Notez que $e ^ {IAZ} = cos AZ + i sin AZ $, donc la partie réelle de cette intégrale est ce que nous sommes après. En outre, $ cos ax $ est une fonction pair, par conséquent $ $ int_0 ^ infty frac{cos ax} {x ^ 2 + 1} , DX = frac12 operatorname{Re} int_{-infty} ^ infty frac{e ^ {IAX}} {x ^ 2 + 1} , DX. Alors $ $ | e ^ {IAZ} | = | e ^ {IA (x + iy)} | = | e ^ {IAX-ay} | = e ^ {-ay} Le $1 $ aussi longtemps que $y ge $0. Méthodes mathématiques pour les physiciens, 3e éd. Ce résultat illustre la façon dont certaines intégrales difficiles à calculer avec les méthodes classiques sont facilement évaluées à l`aide d`une analyse complexe. Orlando, FL: Academic Press, pp. en ce qui concerne le titre, lemme jordanien n`est pas nécessaire ici, l`inégalité Standard ML est suffisant. C`est la raison pour laquelle nous choisissons $ $ f (z) = frac{e ^ {IAZ}} {z ^ 2 + 1} $ $ à la place. Jordan, C. Le problème avec votre idée d`utiliser $ cos z/(z ^ 2 + 1) $ est que $ cos z $ est exponentiellement grand sur l`axe imaginaire, à savoir $ $ cos z = frac{e ^ {iz} + e ^ {-iz}} {2} $ $ so $ $ cos Iy = frac{e ^ {-y} + e ^ {y}} {2}.

Laissez $C _ R ^ + $ être un demi-cercle dans le demi-plan supérieur avec un rayon $R $. Cours d`analyse de l`Ecole Polytechnique, tome 2, 3. D`où votre fonction se développe trop vite pour garantir que l`intégrale sur un demi-cercle tend à $0 $ que le rayon tend à $ infty $. Supposons que $a > $0 (vous pouvez réduire le problème à ce cas). Une instruction analogue pour un contour semi-circulaire dans le demi-plan inférieur tient lorsqu`un 0 avec R ≠ 1..